数值积分和数值微分

有不少情况，被积函数f(x)没有具体的解析表达式，仅仅用表格或图形给出实验观测的一些点上的函数值。对于这种情况，牛顿-莱布尼兹公式也无法应用。对于上述所举的积分值不能用牛顿-莱布尼兹公式求出的情形，就可用数值积分法，即用数值的方法求出积分的近似值。

本章的另一个内容是数值微分。在微分学中，函数f(x)的导数是通过极限定义的。若函数以表格形式给出，或函数的表达式过于复杂时，就要用数值方法求函数的导数或微分。

当找到一个足够精度的简单函数p(x)代替原来函数f(x)就有

$$\int_{a}^{b} f(x) dx \approx \int_{a}^{b} p(x) \, dx$$

若存在实数x₁,x₂,…,x_n；A₁,A₂,…,A_n且存在任取f(x)∈C[a,b]，都有

$$\int_{a}^{b} f(x) dx \approx \sum_{i=1}^{n} A_if(x_i)$$

用容易计算面积的图形代替曲边梯形得到

梯形公式：

$$\int_{a}^{b} f(x) dx \approx \frac{b-a}{2} [f(a) + f(b)]$$

左矩形公式：

$$\int_{a}^{b} f(x) dx \approx f(a) (b-a)$$

中矩形公式：

$$\int_{a}^{b} f(x) dx \approx (b-a) f\left(\frac{a+b}{2}\right)$$

抛物线公式（辛普森公式）：

$$\int_{a}^{b} f(x) dx \approx \frac{b-a}{6} \left[f(a) + 4 f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(b)\right]$$

余项：

$$R[f] = \int_{a}^{b} f(x) dx - \sum_{k=0}^{n} A_k f(x_k)$$

其中A_k称求积系数，也称伴随节点x_k的权

• 代数精度

求积公式

$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \sum_{k=0}^{n} f(x_k) A_k$$

具有m次代数精度使该公式对于

$$f(x) = 1, x, x^2,\cdots,x^m$$

或

$$f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_m x^m$$

均准确成立，而对于f(x)=x^m+1不能准确成立

举例：验证梯形公式具有1次代数精度

$$\int_{a}^{b} f(x) dx \approx \frac{b-a}{2} [f(a) + f(b)]$$

取f(x)=1时，

$$\int_{a}^{b} dx = b - a, \quad \frac{b-a}{2}(1+1) = b - a$$

两端相等；

取f(x)=x时，

$$\int_{a}^{b} x \, dx = \frac{1}{2}(b^2 - a^2), \quad \frac{b-a}{2}(a+b) = \frac{1}{2}(b^2 - a^2)$$

两端相等；

取f(x)=x²时，

$$\int_{a}^{b} x^2 \, dx = \frac{1}{3}(b^3 - a^3), \quad \frac{b-a}{2}(a^2 + b^2) = \frac{1}{2}(a^2 + b^2)(b - a)$$

两端不相等，所以梯形公式只有1次代数精度。

辛普森公式有3次代数精度

牛顿——柯特斯公式

牛顿——柯特斯公式是积分区间上等距节点的插值求积公式

取系数C_k=A_k/(b-a)并称之为柯特斯系数，此时求积公式

$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx (b - a) \sum_{k=0}^{n} C_k f(a + kh)$$

称为牛顿——柯特斯公式

• 柯特斯系数表：

n	Ck
1 梯形	1/2	1/2
2 辛普森	1/6	2/3	1/6
3	1/8	3/8	3/8	1/8
4 柯特斯	7/90	16/45	2/15	16/45	7/90

用三个公式计算定积分

$$\int_{0.5}^{1} \sqrt{x}dx$$

• 梯形公式

$$\int_{0.5}^{1} \sqrt{x} dx \approx \frac{1 - 0.5}{2} (\sqrt{0.5} + 1) = 0.4267767$$

• 辛普森公式

$$\int_{0.5}^{1} \sqrt{x}dx \approx \frac{0.5}{6} (\sqrt{0.5} + 4\sqrt{0.75} + 1) = 0.43093403$$

• 柯特斯公式

$$\int_{0.5}^{1} \sqrt{x} \, dx \approx \frac{0.5}{90} (7\sqrt{0.5} + 32\sqrt{0.625} + 12\sqrt{0.75} + 32\sqrt{0.875} + 7) = 0.43096407$$

• 牛顿——柯特斯公式的代数精度

当n为偶数时，牛顿——柯特斯公式有n+1次代数精度

余项

• 梯形公式

$$R_T = -\frac{(b - a)^3}{12} f''(\eta), \quad a \leq \eta \leq b$$

• 辛普森公式

$$R_S = -\frac{(b - a)^5}{2880} f^{(4)}(\eta), \quad a \leq \eta \leq b$$

• 柯特斯公式

$$R_C = -\frac{8}{945} \left(\frac{b - a}{4}\right)^7 f^{(6)}(\eta), \quad a \leq \eta \leq b$$

复化求积法

将积分区间分成n等份，对每等份分别用梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式，然后将结果加起来，作为积分的近似值

• 复化梯形公式

在子区间[x_k,x_k+1]上利用梯形公式则有复化梯形公式

$$T_n = \frac{h}{2} \left[ f(a) + 2 \sum_{k=1}^{n-1} f(x_k) + f(b) \right]$$

• 余项

$$R_{T} = -\frac{h^3}{12} n f''(\eta) = -\frac{(b-a)}{12} h^2 f''(\eta), \quad a \leq \eta \leq b$$

• 复化辛普森公式

记子区间[x_k,x_k+1]的中点为x_k+1/2，有复化辛普森公式

$$S_{n} = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{h}{6} \left[ f(x_{k}) + 4 f\left(x_{k+\frac{1}{2}}\right) + f(x_{k+1}) \right] = \frac{h}{6} \left[ f(a) + 4 \sum_{k=0}^{n-1} f\left(x_{k+\frac{1}{2}}\right) + 2 \sum_{k=1}^{n-1} f(x_{k}) + f(b) \right]$$

为了便于编写程序，可将其改写成

$$S_{n} = \frac{h}{6} \left\{ f(a) - f(b) + \sum_{k=1}^{n} \left[ 4 f\left(x_{k-\frac{1}{2}}\right) + 2 f(x_{k}) \right] \right\}$$

• 余项

$$R_{S} = -\frac{b-a}{2880} h^4 f^{(4)}(\eta), \quad a \leq \eta \leq b$$

• 复化柯特斯公式

把每个子区间[x_k,x_k+1]四等分，内分点依次记为x_k+1/4,x_k+1/2,x_k+3/4，有复化柯特斯公式

$$C_n = \frac{h}{90} \left[ 7f(a) + 32 \sum_{k=0}^{n-1} f\left(x_{k+\frac{1}{4}}\right) + 12 \sum_{k=0}^{n-1} f\left(x_{k+\frac{1}{2}}\right) + 32 \sum_{k=0}^{n-1} f\left(x_{k+\frac{3}{4}}\right) + 14 \sum_{k=1}^{n-1} f(x_k) + 7f(b) \right]$$

• 余项

$$R_C = -\frac{2(b - a)}{945} \left(\frac{h}{4}\right)^6 f^{(6)}(\eta), \quad a \leq \eta \leq b$$

插值求导公式

两点公式

设已给出两个节点x₀和x₁上的函数值f(x₀)和f(x₁)，进行线性插值

$$P(x) = \frac{x - x_1}{x_0 - x_1} f(x_0) + \frac{x - x_0}{x_1 - x_0} f(x_1)$$

对上式两端求导，记h=x₁-x₀，有

前差公式：

$$f'(x_0) = \frac{1}{h} [f(x_1) - f(x_0)] - \frac{h}{2} f''(\xi)$$

后差公式：

$$f'(x_1) = \frac{1}{h} [f(x_1) - f(x_0)] + \frac{h}{2} f''(\xi)$$

三点公式

设已给出三个节点x₀,x₁=x₀+h，x₂=x₀+2h上的函数值，有三点公式

• 前差公式

$$f'(x_0) \approx P'(x_0) = \frac{1}{2h} [-3f(x_0) + 4f(x_1) - f(x_2)]+\frac{h^2}{3}f'''(\xi)$$

• 中心公式

$$f'(x_1) \approx P'(x_1) = \frac{1}{2h} [-f(x_0) + f(x_2)]-\frac{h^2}{6}f'''(\xi)$$

• 后差公式

$$f'(x_2) \approx P'(x_2) = \frac{1}{2h} [f(x_0) - 4f(x_1) + 3f(x_2)]+\frac{h^2}{3}f'''(\xi)$$

其中，中心公式由于少用了一个函数值f(x₁)而常被采用