常微分方程初值问题的数值解法

未知函数为一元函数的微分方程叫作常微分方程，未知函数为多元函数，从而有多元函数偏导数的方程叫作偏微分方程。微分方程中各阶导数的最高阶数是微分方程的阶。这里讨论一阶常微分方程的初值问题的数值解法

$$\begin{cases} y' = f(x, y) \\ y(x_0) = y_0 \end{cases}$$

常微分方程初值问题的数值解法一般分为以下两大类：

1. 单步法。单步法是在计算y_n+1时，只用到x_n+1,x_n和y_n，即前一步的值。因此，有了初值以后就可以逐步往下计算，其代表是龙格——库塔法

2. 多步法。多步法是在计算y_n+1时，除用到x_n+1,x_n和y_n以外，还要用到x_n−p,y_n−p（p=1,2,⋯,k），即前面k步的值，其代表是亚当斯法

• 李普希茨条件

函数f(x,y)对x连续且关于y满足李普希茨（Lipschitz）条件：

$$|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\le L|y_1-y_2|.$$

L>0。称为"lipschitz"常数即存在常数L，对所有的[a,b]区间的x，及任意实数y₁，y₂均成立，则初值问题在区间[a,b]上有唯一解

此时的Lipschitz常数L不必小于1，这一点与前面章节中讲过的压缩映射的条件有所不同

欧拉法

欧拉(Euler)法是过点P₀(x₀,y₀)作曲线y(x)的切线y’(x₀)与直线x=x₁交于点P₁(x₁,y₁)，用y₁作为曲线y(x)上的点(x₁,y(x₁))的纵坐标y(x₁)的近似值

欧拉法的几何意义就是用一条初始点重合的折线来近似表示曲线y=y(x)

通常取x_x+1-x_n=h_n=h（常数），则欧拉法计算公式

$$\begin{cases} y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n) \\ x_n = x_0 + n h, \quad n = 0, 1, \ldots \end{cases}$$

• 误差

$$y(x_{n+1})-y_{n+1}=\frac{h^2}{2} 𝑦'' (\xi_n) \approx \frac{h^2}{2} y''(x_n)$$

• 后退欧拉法

$$y_{n+1} = y_n + h f(x_{n+1}, y_{n+1})$$

后退的欧拉公式与欧拉公式有着本质的区别，欧拉法是显式的；后退欧拉法是隐式的（且精度低，因此不常用）

• 梯形法

$$y_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}[f(x_n,y_n)+f(x_{n+1},y_{n+1})]$$

改进欧拉法

格式一：

$$\begin{cases} \overline{y_{n+1}} = y_n + h f(x_n, y_n) \\ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2} \left[ f(x_n, y_n) + f(x_{n+1}, \overline{y_{n+1}}) \right] \\ y_0 = \alpha, \quad n = 0, 1 \cdots N-1 \end{cases}$$

格式二：

$$\begin{cases} y_p = y_n + h \left( y_n - \frac{2x_n}{y_n} \right) \\ y_c = y_n + h \left( y_p - \frac{2x_{n+1}}{y_p} \right) \\ y_{n+1} = \frac{1}{2} (y_p + y_c) \end{cases}$$

求该常微分方程的改进欧拉公式

$$\begin{cases} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+x^2} - 2y^2, \quad x \in [0,2] \\ y(0) = 0 \end{cases}$$

解：令区间长度为h=2/N

$$\begin{cases} \overline{y_{n+1}} = y_n + h f(x_n, y_n) \\ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2} \left[ f(x_n, y_n) + f(x_{n+1}, \overline{y_{n+1}}) \right] \\ y_0 = 0, \quad n = 0, 1, \ldots, N-1 \end{cases}$$

改进的欧拉公式为：

$$\begin{cases} \overline{y_{n+1}} = y_n + h \left( \frac{1}{1+x_n^2} - 2y_n^2 \right) \\ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2} \left( \frac{1}{1+x_n^2} - 2y_n^2 + \frac{1}{1+x_{n+1}^2} - 2\overline{y_{n+1}}^2 \right) \\ y_0 = 0, \quad n = 0, 1, \ldots, N-1 \end{cases}$$